(Traducción: Miguel de la Fuente Martos)
El applet xFunctions es una herramienta educativa para explorar varios temas de pre-cálculo y cálculo en matemáticas. También puede usarse para divertirse jugando con funciones matemáticas. El applet incluye la mayor parte de las características del popular programa xFunctions para Macintosh desarrollado por el mismo autor (David Eck).
Instrucciones rápidas
Cuando el applet empieza lo hace mostrando la pantalla principal (Main Screen), donde puedes ver el gráfico de una función. Las funciones disponibles se demuestran en una lista a la izquierda. Clicar en el nombre de una función para ver su gráfica. Puedes definir tus propias funciones para agregar a esta lista usando los tres botones en la parte inferior izquierda de la ventana principal del applet Hay tres maneras de definir nuevas funciones: usando expresiones (tales como 0.5*x^2+sin (3*x-2)), dando el gráfico de la función, o enumerando una tabla (x, y) de pares. Hay una pantalla separada de la entrada para cada uno de estos métodos. Para volver de nuevo a la pantalla principal a partir de la una de estas pantallas de la entrada, tienes que presionar el botón “hecho” (Done) . El menú emergente en la parte superior del applet se puede utilizar para ir a siete otras pantallas. Cada pantalla es una “utilidad separada” que permite que juegues con funciones de distinta manera. Puedes utilizar en todas las pantallas cualquier nueva función que hayas definido, así como las funciones incorporadas por defecto.
Instrucciones más detalladas
Primero algunas ideas generales
- Las expresiones en xFunctions pueden incluir las operaciones +, -, *,/, y el ^, donde el ^ representa "elevado a" (así x^3 es x*x*x). Tienes que mecanografiar siempre la multiplicación explícitamente como *. Cuando utilizas una función tal como sin o f en una expresión, tienes que poner paréntesis alrededor de su argumento. Es decir, tienes que escribir “sin(x^2)” en lugar de “sin x^2”. Puedes utilizar las constantes e y pi en las expresiones.
- Las funciones incorporadas se demuestran en la pantalla principal. Algunas que no parecen obvias: “abs” es valor absoluto; “sqrt” es raíz cuadrada y cubert es la raíz cúbica. “ln” es el logaritmo natural y “exp” es exponencial en la base e (igual que e^x). “round(x)” es el número entero más cercano a x, el “floor (x)” es el número entero x o el entero anterior y más próximo a x, el “ceiling(x)” es el número x o el posterior y más próximo a x; “trunc(x)” en el número entero que queda después de que a x se le quita la parte decimal, cualquiera que sea.
- Los límites del gráfico y otros límites pueden ser fijados completando las cajas de texto etiquetadas xmin, xmax, y así sucesivamente. Generalmente, si presionas la tecla Enter en cualquier caja de datos el gráfico se redibujará con los nuevos, así que no se tienen que utilizar demasiado los botones. Muchas pantallas tienen botones para hacer Zoom hacia adentro y hacia fuera en el gráfico. El botón "Restore” restaurará los límites originales en el gráfico. El botón “Equalize" (Igualar) reajustará los límites x e y en el gráfico de modo que las escalas en los ejes horizontal y vertical sean iguales. (Esto hace que los círculos parezcan círculos en vez de elipses, y te permita estimar la pendiente visualmente.)
- El ratón puede ser utilizado para enfocar (Hacer zoom in) en algunas de las pantallas del applet. Clicar con el botón derecho del ratón en un punto para hacer zoom adentro en ese punto. Clicar con el botón central del ratón para alejarse (zoom out) del punto (o pulsar el botón izquierdo manteniendo pulsada la tecla ALT).
- Los mensajes de error se exhiben en la misma región de la pantalla donde se dibujan los gráficos. Un mensaje de error desaparece si clicas sobre él o al redibujar el gráfico una vez resuelto el problema que ha dado lugar al mensaje.
- ¡Nunca confiar en un ordenador! No asumir que este programa es totalmente. En algunos casos hay algunos bugs (pequeños defectos) de programación. Más importante, los métodos usados en los cálculos son aproximaciones y en algunos casos conjeturas. Los gráficos están dibujando trazando muchos puntos y conectándolos con las líneas. Puesto que son muchos los puntos que se utilizan los resultados son generalmente bastante buenos, pero si el gráfico varía rápidamente los resultados pueden ser algo engañosos.
La pantalla principal
¡La pantalla principal no es la parte más interesante de xFunctions. Las “pantallas para uso general más interesantes” son descritas más abajo. Sin embargo, tienes que utilizar la pantalla principal si deseas definir nuevas funciones que puedas utilizar en las otras pantallas de utilidades. (¡OJO todas las funciones definidas por el usuario y las modificaciones hechas se pierden si se reinicia el applet o se recarga esta página Web!)
La pantalla principal demuestra una lista de funciones disponibles a la izquierda. Pulsar con el ratón sobre el nombre de la función para ver tu gráfico. Para agregar una función a esta lista, pulsar sobre uno de los botones “New Expr.”, “New Table”, o “New Graph” de la esquina inferior izquierda. Esto te llevará a una pantalla donde puedes definir una función. Estas pantallas de entrada se describen abajo. Si la función que es marcada en la lista es una función modificable (como las definidas por el usuario), el botón Edit estará activo Si pulsas dicho botón accedes a la definición y puedes modificarla.
Si pulsas con el botón izquierdo del ratón sobre el gráfico aparece una cruz sobre el punto del gráfico y sus coordenadas aparecen bajo el gráfico. Hay también una caja de la entrada bajo el gráfico donde puedes entrar un valor de x (pulsando luego sobre Set). Esto te da un control mucho más fino de dicho valor que el que puedas conseguir con el ratón. Una vez colocado un punto en el gráfico si arrastras el ratón se moverá por dicho gráfico.
Además del control del área de visión por medio del ratón, haciendo zoom, puedes controlarla con los valores xmin, xmax, ymin e ymax que puedes introducir en la columna a la derecha de la gráfica.
Las utilidades
El punto principal de xFunctions son sus siete “utilidades.” Cada utilidad es una pantalla que permite que trabajes con funciones de diversa manera. Para ir a una utilidad, seleccionar su nombre en el menú emergente de la parte superior del applet. Este menú emergente es visible en la pantalla principal y en cada una de las pantallas principales de las utilidades, así que es fácil moverse entre estas pantallas. (Dicho menú no está disponible en las pantallas de entrada de funciones.) . El menú emergente permite acceder también a algunos ejemplos preparados.
Debajo, encontrarás unas breves instrucciones para cada una de las siete utilidades. Sin embargo, mucho del interfaz de las las utilidades es bastante auto explicativo.
Pantalla de la entrada de la función de la expresión
Cuando pulsas en “New Expr.” de la pantalla principal, accederás a una pantalla de entrada de funciones donde puedes definir una función con una expresión tal como “x^2+2*x+1”. Puedes también definir las funciones a trozos (split), que tienen diversas expresiones en diversas partes de su dominio.
Para definir una función, fijar el nombre de la función en la caja de la entrada correspondiente (o aceptar el nombre que se propone ya allí). Para definirla usando sólo una expresión escribirla dentro de la caja etiquetad “Let y =”. Si deseas limitar el dominio de la función, puedes incorporar una condición, por ejemplo “x > -1 and x < 1”, en la caja etiquetada “provided: ”. La condición puede utilizar los operadores =, <>, <, >, <=, >=, y los operadores lógicos “and”, “or”, y “not”. Puedes utilizar cualquier expresión como parte de la condición, tal como “ABS (sin (x)) < 0.5”. Puedes definir una función de hasta cuatro trozos completando el resto de cajas etiquetadas “or y=” y “provided:”. Por ejemplo: Let y= x^2 provided: “abs(x) < 1” or y=" x^3 " provided: "x>=1" or ”y=1"provided: "x<=-1"
.
Pulsar el botón de "prueba" (Test) para ver el gráfico de tu función. Los límites de los ejes no limitan aquí el dominio de la función. Se utilizan solamente para determinar qué parte del gráfico será mostrada por defecto en la pantalla principal.
Pulsar el el botón “hecho” (Done) para definir la función y para ir de nuevo a la pantalla principal. Debes pulsar el botón "hecho” o de “cancelación” (Cancel) para salir de la pantalla de entrada de la expresión de la función.
Pantalla de entrada del gráfico de una función
¡Las funciones no tienen por qué ser definidas por expresiones! Pueden también ser definidas por los gráficos y por las tablas de valores. En la pantalla principal, pulsar el botón “New Graph” para ir a la pantalla de la entrada de la función por su gráfico. Técnicamente, los gráficos usados aquí son funciones de Bezier, que se componen de trozos. Cada trozo lo es de un polinomio cúbico, que es determinado totalmente por los dos puntos en los finales de los trozos y por las tangentes en esos dos puntos. Es posible hacer los gráficos que tengan discontinuidades, extremos relativos suaves y puntos angulosos.
Una nueva función empieza siempre como una sola línea en el eje x, con un punto en cada extremo. Con doble pulsación ( o Control+Clic) sobre la línea puedes introducir nuevos puntos o quitarlos. Cada punto tiene una “manija”, mostrada con uno o dos puntos negros próximos. Puedes arrastrar estos puntos negros y controlar la forma de la curva alrededor de ese punto. Doble pulsación con el botón de la derecha (o Mayúsculas+Clic) rompe la gráfica en el punto (produce discontinuidad). Un sólo Clic con el botón derecho la recompone la discontinuidad. Si deseas control fino sobre el valor de x donde colocar el punto (sin que quede demasiado cerca de otro ya colocado o fuera del intervalo de x representado) incorporar el valor de x en la caja etiquetada “at x =” y presionar Enter o el botón de "Insertar nuevo punto". Observar que los límites de x e y en los ejes no afectan a la forma del gráfico.
Pulsar “Hecho”(Done) o “Cancelar” (Cancel) para volver a la pantalla principal.
Pantalla de entrada de la tabla de la función
Si tienes una lista de puntos (x,y) del gráfico, incorporarlos como tabla en la pantalla de entrada de la función como tabla. Accedes a esta pantalla presionando el botón “New Table” en la pantalla principal.
Los valores (x,y) se incorporan en las cajas etiquetadas “Input x” e “Input y”. (Puedes presionar la tecla Tabuladora (→) para pasar de la primera a la segunda y después pulsar la tecla Enter o el botón de añadido correspondiente "Add (x,y) to Table"; los puntos serán mostrados en una lista en la esquina superior superior de la pantalla. Si pulsas sobre un punto de esta lista sus datos pasan a las cajas de entrada y podrás modificarlos o borrar la pareja de valores con el botón "Delete Selected Pt.".
Conocer unos cuantos puntos de una función te dice poco sobre su gráfico. Tienes que especificar qué sucede entre los puntos. Tienes tres opciones: Una “función escalera”(Step Function) tiene un valor constante entre dos puntos consecutivos de tu lista. Para “una función poligonal” (Piecewise Linear Function), los puntos son conectados por la línea segmentos. Una “función suave” (Smooth Function) es continua y diferenciable en todos los puntos (realmente es una función de Bezier definida por polinomios cúbicos entre los puntos especificados en tu lista.)
Una vista previa del gráfico se muestra en la parte inferior derecha (pero no hasta que hay por lo menos dos puntos). Los límites en los ejes se aumentan en caso de necesidad y (o) puedes fijarlos tú mismo.
Pulsar “Hecho”(Done) o “Cancelar” (Cancel) para volver a la pantalla principal.
Multigraph
La pantalla para uso general Multigraph nos deja representar hasta ocho funciones en diversos colores en el mismo sistema de ejes. Debes seleccionar el número (1 a 8) de la función a representar en el menú emergente que hay cerca del la parte inferior izquierda. Cada curva se representa de un color diferente que se muestra al lado del número de gráfica seleccionado. ¡Incorporar la formula de la fi¡unción (donde pueden aparecer también las definidas por el usuario) y presionar Enter (o pulsar en el botón "Graph!") par representar la función gráficamente. Pulsar con el botón derecho en el gráfico hará zoom de acercamiento. Pulsar el botón central del ratón (o el izquierdo+ALT) hará zoom de alejamiento.
Animación
La pantalla para uso general "Animación" te deja trabajar con una función cuya definición pueda contener el parámetro k, así como la variable x. Esto es realmente una familia de funciones, una para cada valor de k. La utilidad "Animación" hace demostración tipo“película” con una secuencia de gráficos para diversos valores de k. Se tienen cajas de entrada para especificar los valores iniciales y finales de k en dicha película. Se puede especificar también especificar el número de intervalos (nº de imágenes-1) en la película y qué sucede cuando se llega al final. La animación puede saltar directamente de nuevo al principio o puede reproducir la película hacia atrás, lo que se haría a través del botón etiquetado "Loop Back and Forth" (Bucle hacia adelante y hacia atrás).El botón "Go" inicia la animación. El botón “Next” mostrará la imagen siguiente. Puedes utilizar el ratón igual que en otras pantallas para hacer zoom en el gráfico.
Curvas Paramétricas.
La utilidad "Paramétric Curves"dibuja curvas paramétricas en el plano XY. Una curva paramétrica es un diagrama de puntos (x,y) donde los coordenadas de x y de y son funciones de un cierto parámetro. En esta utilidad, el parámetro es t. por ejemplo, la curva paramétrica definida por x=cos (t), y=sin (t) para t entre 0 y 6.28 es un círculo. (6.28 es aproximadamente 2*pi.)
En esta utilidad, puedes incorporar las funciones de x y de y para hasta ocho curvas paramétricas. Hay un menú emergente cerca de la esquina inferior izquierda de la pantalla que puedes utilizar para seleccionar el número/color de la curva cuya definición deseas escribir. Hay cajas de entradas para especificar el intervalo de los valores de t a utilizar en todas las curvas. Puedes especificar también el número de puntos en cada curva. (Recordar que xFunctions dibuja gráficos trazando puntos y conectándolos con las líneas. Los resultados para las funciones discontinuas o que cambian rápidamente (pendiente muy grande) pueden ser poco precisos. Puede que consigas una curva mejor aumentando el número de puntos.)
Hay un botón etiquetado “Trace” (rastro). Si pulsase botón, una cruz será movida a lo largo de la curva cuyo número se encuentra seleccionado en el menú emergente. Esto te deja ver cómo varía el punto en la curva mientras que t cambia. La cruz desaparece después de que la curva se haya trazado una vez.
El zoom con el ratón también funciona en esta utilidad.
Derivadas
La Utilidad Derivadas representará la gráfica de una función y la de su primera y segunda derivadas. Las tres gráficas se muestran en paneles separados en la mitad inferior del applet. Si pulsas sobre en un punto del gráfico de la función aparece la recta tangente en dicho punto a la gráfica. Al mismo tiempo, el punto correspondiente en el gráfico de su primera derivada se marca. (Puedes también pulsar y arrastrar en los otros gráficos y ver qué sucede.). El zoom con el ratón también funciona en esta utilidad.
Sumas de Riemann
La utilidad de las sumas de Riemann calcula dichas sumas para una función especificada en un intervalo especificado. Los valores de las diferentes sumas de Riemann, usando diversas opciones, se muestran a la derecha. (Aunque la opción de los trapecios no es realmente una suma de Riemann, está colocada aquí de todos modos.). El área que corresponde a una de las sumas (la que se ha seleccionado en el menú emergente de la parte inferior derecha de la pantalla) se muestra gráficamente. Si pulsas sobre el gráfico, se te mostrarán los detalles los detalles de uno de los rectángulos o de los trapecios en la suma (aquél sobre el que hayas pulsado). (Pulsar sobre la caja azul de información que aparece para hacerla desaparecer). Observar que para las opciones “~Circumscribed” e “~Inscribed” , el máximo y el mínimo de la función en cada subintervalo se calcula sólo aproximadamente. (Esto explica el “~”, que está significa “aproximadamente”). El zoom con el ratón no funciona aquí.
Curvas Integrales
La utilidad de las curvas integral dibuja campos de direcciones y curvas integrales. Una curva integral es la trayectoria seguida por un punto cuya velocidad en cada punto se da por un “campo vectorial”. Un campo de vectores en el plano XY es dado por un par de funciones de "x" y de "y". Para la curva, estas funciones especifican las derivadas dx/dt y dy/dt en cada punto. En esta utilidad puedes especificar las funciones dx/dt y dy/dt, y puedes “colocar” puntos sobre el plano XY para ver las curvas a lo largo de las cuales se mueven. La utilidad también dibuja una red de flechas. Una flecha en un punto demuestra la dirección de la curva integral cuando que pasa a través de ese punto. (Esto es un “campo de direccines” más que un “campo de vectores” porque muestra solamente la dirección de la curva, no de la velocidad.)
Puedes comenzar una curva pulsando en un punto en el gráfico. Alternativamente, para un control más fino, puedes incorporar los valores d x y de y del punto de partida de la curva en las cajas etiquetadas “Start x” y “Start y”. Entonces, pulsar el botón "New Curve" para iniciar una curva en ese punto. Puedes tener tantas curvas como desees. Si marcas la opción “extender las curvas en ambas direcciones”, consiguen ver cómo se movería el punto si el tiempo t fuese al revés.
Una curva integral se dibuja considerando la posición actual del punto y las funciones derivadas en ese punto (y posiblemente en algunos puntos próximos para consequir mayor exactitud). Esto se utiliza para proyectar el punto hacia adelante (al futuro) dt unidades de tiempo . ¡Esto es solamente una aproximación! Un valor más pequeño de dt dará generalmente una aproximación mejor. Hay una caja de la entrada donde puedes especificar el valor de dt. Se pueden usar tres tipos diferentes de aproximación: El Método de Euler, El de Runge-Kutta de orden 2, y el de Runge-Kutta de orden 4. La utilidad tiene un sistema de botones para seleccionar el método. El de Runge-Kutta de orden 4 es el más exacto, y no hay realmente razón de utilizar los otros dos a menos que te interese específicamente en el método más que en conseguir la aproximación mejor de la curva integral verdadera.
Una vez que se haya comenzado una curva, utiliza el mismo método y el mismo valor de dt siempre. Esto te permite comenzar diversas curvas del mismo punto, usando diversos métodos o diversos valores de dt, para comparar los resultados.
En esta utilidad, más que en otrass, puede ser que desees utilizar el botón "Equalize" para igualar las escalas en los ejes x e y. Si no, las direcciones de la flecha, según lo dibujado, pueden ser engañosas. En esta utilidad sí puedes usar el ratón para hacer zoom.
Gráficos 3D
La utilidad de gráficos 3D dibuja gráficos tridimensionales de funciones de dos variables. La función que se representará gráficamente debe ser de la formal z=f (x, y), donde f (x, y) se da como una expresión que pueda contener variables x e y. Los valores xmin, xmax, ymin, e ymax tienen diferente interpretación en esta utilidad: Especifican un rectángulo en el plano XY que se utiliza como el dominio sobre el que el gráfico se dibuja. Puedes también incorporar zmin y el zmax, que especifican el intervalo de los valores z que deseas ver. La escala en el gráfico se ajusta de modo que los intervalos de x, de y, y de z sean visibles. Pero puesto que la imagen en la pantalla es una proyección en dos dimensiones de un objeto tridimensional, no hay una correspondencia exacta entre los intervalos y los límites del rectángulo mostrado en la pantalla.
Para producir el gráfico se utiliza una rejilla rectangular de puntos en el dominio . La función se evalúa en cada punto, y los puntos (x,y,z) que resultan se conectados con las líneas. Puedes incorporar el tamaño de la rejilla -- es decir, el número de puntos a lo largo de cada lado de esta rejilla. La utilidad puede dibujar gráficos en cuatro estilos diferentes: Cuando solamente se dibujan las líneas entre los puntos, el resultado es un “supuesto modelo de alambre.” (Wire Frame Model). El segundo estilo también consiste en líneas justas, pero las líneas que son ocultadas por otras partes del gráfico no se demuestran (No Hidden Lines). En vez de dibujar las líneas, las regiones entre las líneas se pueden completar de color, dando un “modelo sombreado.” (Shaded Model). En este modelo el color usado es determinado por la orientación de la superficie del gráfico, así que funciona como si el gráfico estuviese iluminado de cierta dirección. En el cuarto estilo, se muestran las líneas y el sombreado (Shaded, with Wires). Puedes seleccionar entre los cuatro estilos usando un sistema de botones bajo el gráfico.
Cuando la utilidad empieza, verás una proyección de los ejes x, y, z junto con un rectángulo que enmarca el dominio de la función en el plano XY. Cuando pulsas “Graph it! o pulsas la tecla Enter sobre una caja de entrada de datos, el gráfico será dibujado. Verás como se dibuja el gráfico desde atrás hacia adelante (esto es a propósito para que se entienda mejor el gráfico -- ver el proceso de dibujo es más eficaz que ver de golpe el resultado final.)
Puedes rotar los ejes y así la gráfica representada usando las barras de scrooll en el lateral derecho y bajo la gráfica. La barra de scroll horizontal rota el gráfico alrededor del eje z. La barra de scroll vertical inclina la imagen hacia ti o lejos de ti.
El zoom con el ratón no trabaja en esta utilidad de gráficos 3D. No esperar que "gráficos 3D" trabaje bien con la mayoría de las funciones discontinuas.